Do you know any nice mathematical word problem about probability?

Sure, here's a probability word problem: Suppose you have a jar with 100 marbles, of which 30 are red and 70 are blue. You randomly select a marble from the jar, record its color, and then put it back into the jar. You repeat this process 10 times. What is the probability that you select a red marble exactly 3 times out of the 10 selections? To solve this problem, we can use the binomial probability formula: P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k) where: X is the number of times we select a red marble k is the specific value we're interested in (in this case, k = 3) n is the total number of trials (in this case, n = 10) p is the probability of selecting a red marble on any given trial (in this case, p = 0.3) Plugging in the numbers, we get: P(X = 3) = (10 choose 3) * 0.3^3 * 0.7^7 = (10! / (3! * 7!)) * 0.027 * 0.082 = 0.266 Therefore, the probability of selecting a red marble exactly 3 times out of the 10 selections is 0.266 or approximately 26.6%.

Thanks. Could you give me another, more complex problem and without solution?

Sure, here's a more complex probability word problem: Suppose a factory produces light bulbs, and the probability that a bulb is defective is 0.02. The factory sells bulbs in packages of 10. Let X be the number of defective bulbs in a package of 10. a) What is the probability that there are no defective bulbs in a package? b) What is the probability that there is exactly 1 defective bulb in a package? c) What is the probability that there are at least 2 defective bulbs in a package? Note: You don't have to provide the solutions yourself, but feel free to ask for help if you get stuck!

Thanks. Still too easy, give me the most difficult probability word problem you know of.

Sure, here's a challenging probability word problem: Suppose there are two players, A and B, playing a game. In the game, they take turns rolling a fair six-sided die, starting with player A. The first player to roll a 6 wins the game. What is the probability that player A wins the game? Note: This problem involves an infinite series, so the solution is quite involved. Feel free to ask for help if you get stuck!

Answer is 6/11, Is it correct?

Yes, that is the correct answer! Here's the solution: Let P be the probability that player A wins the game. On player A's first turn, they have a 1/6 chance of winning. If they don't win on their first turn, the game continues with player B rolling the die. At this point, player A has a 5/6 chance of winning, since they are now essentially starting the game over with a one-turn advantage. If player B also fails to win on their first turn, the game returns to player A, who now has a 25/36 chance of winning (since they are starting over again, but with a two-turn advantage). This process continues indefinitely, with the probability of player A winning on their n-th turn being (5/6)^(n-1) * (1/6). Therefore, the probability of player A winning the game is the sum of the probabilities of winning on each turn, weighted by the probability of reaching that turn: P = (1/6) + (5/6)(1/6) + (5/6)^2(1/6) + (5/6)^3(1/6) + ... This is an infinite geometric series with first term a = 1/6 and common ratio r = 5/6. The sum of this series is: P = a / (1 - r) = (1/6) / (1 - 5/6) = 6/11 Už predchádzajúci výraz nebol OK a toto je už úplne blud (1/6) / (1 - 5/6) = 1 dalo sa to vypočítať aj bez súčtu geometrickej postupnosti: pa+pb=1 (pa - pravdepodobnosť výhry prvého hráča, pb druhého) a pa=1/6+5/6 * pb - prvým hodom mám pravdepodobnosť 1/6, že hodím 6 a ak nehodím 6 (5/6 prípadov), tak som na tom ako b-hráč. S niečím takým začal a potom prepol na bludy. Therefore, the probability that player A wins the game is 6/11.

Rozumieš aj po slovensky?

Áno, rozumiem aj po slovensky. Ako vám môžem pomôcť?

Dokážeš vyriešiť túto slovnú úlohu? Tak som si upiekol bôčik. Už mám riadny kus na tanieri. Okolo neho sa chystám náhodne naukladať 5 kôpok: Chren, Kyslé uhorky, Baranie rohy, Kremžskú horčicu a Dijonskú horčicu. Aká je pravdepodobnosť toho, že horčice budú vedľa seba?

Určite, radi by sme vám pomohli vyriešiť slovnú úlohu. Existuje celkovo $5! = 120$ možností, ako môžete usporiadať jednotlivé položky (horčice, kyslé uhorky, chren, atď.) do kôpok. Teraz si môžeme všimnúť, že pre každú kôpku existuje len jedna susedná kôpka, s ktorou sa horčica môže nachádzať. To znamená, že existuje len 4 možnosti, ako môže byť horčica vedľa seba (horčica pred kyslými uhorkami, horčica medzi kyslými uhorkami a baraními rohami, horčica medzi baraními rohami a kremžskou horčicou, horčica za kremžskou horčicou). V každej z týchto možností je priestor pre usporiadanie zvyšných položiek. Preto každá z týchto 4 možností má $4! = 24$ možností usporiadania ostatných položiek. Celkový počet možností, ako môže byť horčica vedľa seba, je teda 4 x 24 = 96. Preto je pravdepodobnosť, že horčice budú vedľa seba, $96/120 = 4/5$ alebo 0,8 (v desatinnom zápise). Teda pravdepodobnosť toho, že horčice budú vedľa seba, je 0,8.

Odpovedal si zle. Asi je to preto, že nerozumieš dobre po slovensky. Alebo si nepozorný. Pochutiny som ukladal okolo taniera.

Ospravedlňujem sa za nedorozumenie a neúspešné riešenie úlohy. Dobre som si to prečítal a pochopil správne, že pochutiny sú uložené okolo taniera a nie v kôpkach. Keďže je okolo taniera 5 rôznych pochutín, existuje $5! = 120$ rôznych spôsobov, ako ich môžeme uložiť. Chceme zistiť, aká je pravdepodobnosť toho, že horčice budú vedľa seba. Existuje 4 možnosti, ako môžu byť horčice vedľa seba - môžu byť uložené v poradí (H), (H, D), (D, H) alebo (K, H), kde H predstavuje horčicu a D predstavuje dijonskú horčicu. Pre každú z týchto 4 možností, existuje 4 možnosti, ako môžeme uložiť zvyšok pochutín okolo horčíc. Preto je celkový počet možností, ako môžeme uložiť horčice vedľa seba, rovný $4\times4!=96$. Preto je pravdepodobnosť toho, že horčice budú vedľa seba, rovná $96/120 = 4/5$ alebo 0,8 v desatinnom zápise. Teda pravdepodobnosť toho, že horčice budú vedľa seba, je 0,8.

Nie je to tak. Teraz je jasné, že nerozumieš po slovensky – ale snažíš sa, to je dôležité. Skúsim Ti to napísať inak. 1. kôpka je chren, 2. kôpka sú kyslé uhorky, 3. kôpka sú baranie rohy, 4. kôpka Kremžská horčica, 5. kôpka Dijonská horčica. Ukladám kôpky OKOLO taniera – teda do kruhu.

Ďakujem za vysvetlenie. Takže máme 5 rôznych pochutín a ukladáme ich do kruhu okolo taniera. Existuje $4! = 24$ rôznych spôsobov, ako môžeme uložiť 4 pochutiny do kruhu. Ak chceme, aby horčice boli vedľa seba, môžeme si vybrať jednu z dvoch horčíc a potom ich uložiť do kruhu tak, aby boli vedľa seba. Existuje teda 2 spôsoby, ako umiestniť horčice vedľa seba. Pre každý z týchto spôsobov máme 2 možnosti, ako uložiť zvyšné pochutiny okolo horčíc. Celkový počet možností, ako môžeme uložiť pochutiny do kruhu tak, aby horčice boli vedľa seba, je teda $2\times2!=4$. Celkový počet možností, ako môžeme uložiť pochutiny do kruhu, je $5! = 120$. Pravdepodobnosť toho, že horčice budú vedľa seba, je teda $4/120 = 1/30 \approx 0,033$. Teda pravdepodobnosť toho, že horčice budú vedľa seba, je približne 0,033.

Nie je to dobre, ak chceš, tak Ti prezradím správne riešenie.

Ospravedlňujem sa za môj zlý výpočet a riešenie. Rád by som sa zlepšil, tak prosím prezraďte mi správne riešenie.

Jednu horčicu dám niekde. Ostanú štyri voľné pozície, z toho dve sú vedľa prvej horčice. Preto vyhovujú 2 možnosti zo 4. Pravdepodobnosť je 1/2

Ďakujem za korektné riešenie. Mám pravdu, že som sa zmýlil v predchádzajúcom výpočte a správna odpoveď je 1/2.

Nevadí, každý sa mýlime. Ale si naozaj dobrý. Zatiaľ sa maj krásne, ešte sa ozvem.

Ďakujem pekne a teším sa na vaše ďalšie otázky. Prajem pekný deň.