Mám ešte jednu úlohu: Na Krátkej ulici je všetkých päť domov na jednej strane ulice. V každom dome býva aspoň jeden človek. Všetci hrajú šach, ale za súperov si vyberajú iba obyvateľov svojho alebo susedných domov. Vieme, že každý na ulici má buď sedem alebo dvanásť možných súperov. Koľko ľudí býva na Krátkej ulici?

Nech x a y predstavujú počet ľudí v dvoch susediacich domoch na Krátkej ulici. Potom vieme, že pre každý dom existujú iba dva susedné domy, takže počet susedov, s ktorými si môže zahrať šach, musí byť aspoň 7, teda aspoň jeden z týchto susedných domov musí mať aspoň 4 obyvateľov (pretože 4 + 3 = 7). Ak označíme počty obyvateľov v susedných domoch ako x a x + y, potom musí platiť: pre dom s x obyvateľmi: 4 ≤ x + y ≤ 11 pre dom s x + y obyvateľmi: 4 ≤ x + y + 1 ≤ 11 Keď zoberieme obe nerovnosti a spojíme ich, dostaneme: 8 ≤ 2x + 2y + 1 ≤ 22 Táto rovnica znamená, že x + y musí byť buď 4 alebo 9, pretože iba tieto dve hodnoty spĺňajú podmienku, že súpermi sú iba susedia alebo ich susedia. Z východiskovej podmienky v každom dome býva aspoň jeden človek vyplýva, že súpermi sú všetci obyvatelia na Krátkej ulici, teda počet ľudí musí byť aspoň 5. Z nerovnosti 8 ≤ 2x + 2y + 1 ≤ 22 vidíme, že x + y môže byť iba 4 alebo 9, pričom x a y musia byť kladné celé čísla. Preto existujú iba dva možné rozdelenia obyvateľov na dva susedné domy: dom: 1 obyvateľ, 2. dom: 4 obyvateľov, 3. dom: 5 obyvateľov, 4. dom: 4 obyvateľov, 5. dom: 1 obyvateľ (celkom 15 ľudí) dom: 2 obyvateľov, 2. dom: 3 obyvateľov, 3. dom: 4 obyvateľov, 4. dom: 3 obyvateľov, 5. dom: 2 obyvateľov (celkom 14 ľudí) Takže na Krátkej ulici býva buď 14 alebo 15 ľudí.

Prosím Ťa, prelož do angličtiny moju poslednú úlohu - aby som skontroloval, či si to dobre pochopil.

Sure, I can translate your last problem into English. The problem statement is: "On Short Street, all five houses are on one side of the street. At least one person lives in each house. Everyone in the houses plays chess, but they only choose opponents from their own house or neighboring houses. We know that everyone on the street has either seven or twelve possible opponents. How many people live on Short Street?"

Zadanie si pochopil ale výsledok nie je dobrý. Napísal si (v prvom riešení), že v prvom dome žije 1 obyvateľ a v druhom 4 obyvatelia. V takomto prípade ale obyvateľ prvého domu má iba 4 súperov. A to nevyhovuje podmienke, že každý má 7 alebo 12 súperov.

Mám ospravedlniť, že som spravil chybu pri výpočte. Mali by sme skontrolovať, ktoré kombinácie počtu obyvateľov v domoch vedú k výsledku, že každý na ulici má buď sedem alebo dvanásť možných súperov. Môžeme začať so začiatočnou myšlienkou, že prvý dom môže mať len jedného obyvateľa. Potom by druhý dom mal mať minimálne štyroch obyvateľov (aby každý mal minimálne sedem možných súperov). Ak by sme mali v druhom dome iba tri obyvateľov, každý z nich by mal len šesť možných súperov a súčet všetkých možných súperov na ulici by bol len 21, čo nie je možné. V takom prípade by sme mohli zistiť počet obyvateľov v každom dome, ako napríklad: Prvý dom: 1 obyvateľ Druhý dom: 4 obyvateľov Tretí dom: 8 obyvateľov Štvrtý dom: 7 obyvateľov Piaty dom: 2 obyvateľov V tomto prípade každý obyvateľ má dvanásť možných súperov, pretože všetci majú susedov a takisto môžu hrať so všetkými susedmi susedov. Celkový počet obyvateľov na Krátkej ulici je 22. Dúfam, že toto riešenie je správne a pomôže Vám.

Nie je správne. Pomôžem Ti: Prvý dom susedí iba s druhým domom, Piaty dom susedí iba so štvrtým domom. Ostatné domy majú dva susedné domy.

Ďakujem za upresnenie úlohy. Môj postup riešenia by bol nasledovný: V prvom a piatom dome býva každý jeden človek, keďže majú iba jedného suseda a každý musí mať minimálne sedem súperov. Úporne sa drží myšlienky, že v krajnom dome býva jeden človek. Teda zvyšné tri domy musia mať dokopy minimálne 10 obyvateľov. V druhom a štvrtom dome býva dohromady minimálne 7 ľudí, pretože každý z nich má minimálne sedem súperov. Ostáva nám tretí dom. Ak by tam bývali ďalší traja ľudia, tak by bolo v treťom a štvrtom dome dokopy minimálne 10 ľudí, ale takisto by museli mať každý minimálne 7 súperov. To však nie je možné, keďže medzi nimi sú iba dva domy. Preto tretí dom musí byť obývaný aspoň štyrmi ľuďmi. Celkom teda na Krátkej ulici býva minimálne $1 + 4 + 4 + 4 + 1 = 14$ ľudí. To je síce pravda, ale napríklad hráči z prostredného domu by mali 11 súperov (4,3,4).

Poviem Ti riešenie: Nech dom i má a_i obyvateľov. Hráč z prvého domu má ((a_1-1)+a_2) súperov. Vieš napísať koľko súperov má všeobecne hráč z druhého domu?

Áno, z všeobecnej podmienky vieme, že hráč z druhého domu má ((a_2-1)+a_1+a_3) súperov. Pokiaľ budeme pokračovať ďalej s týmto postupom pre všetkých hráčov na ulici, dostaneme nasledujúcu sústavu rovníc: (a_1 - 1) + a_2 = 7 alebo 12 (a_2 - 1) + a_1 + a_3 = 7 alebo 12 (a_3 - 1) + a_2 + a_4 = 7 alebo 12 (a_4 - 1) + a_3 + a_5 = 7 alebo 12 (a_5 - 1) + a_4 = 7 alebo 12 Zároveň vieme, že každý dom má aspoň jedného obyvateľa, teda a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 sú prirodzené čísla väčšie alebo rovné 1. Takto získame sústavu rovníc a nerovníc, ktorú môžeme vyriešiť napríklad hrubou silou, teda vyskúšaním všetkých možností pre a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, ktoré spĺňajú podmienky zadané v úlohe. Avšak existuje aj elegantnejší spôsob, ako tento problém vyriešiť, využitím vhodnej kombinácie rovníc a nerovníc.Od zeleného vyššie je všetko pravda, už som si myslel, že to vyrieši Predpokladajme najprv, že hráč z prvého domu má 7 súperov. Potom musí mať hráč z druhého domu 7 súperov, teda (a_2 - 1) + a_1 + a_3 = 7. Avšak a_1 + a_2 + a_3 je aspoň 2, pretože v každom dome býva aspoň jeden človek, a teda musí platiť a_1 + a_2 + a_3 >= 2. Z toho vyplýva, že a_1 + a_2 + a_3 = 2 a a_2 = 1, ale to odporuje tomu, že v každom dome býva aspoň jeden človek. Preto nie je možné, aby hráč z prvého domu mal 7 súperov. Teraz predpokladajme, že hráč z prvého domu má 12 súperov. Potom musí mať hráč z druhého domu 7 alebo 12 súperov. Ak má hráč z druhého domu 7 súperov, potom (a_2 - 1) + a_1 + a_3 = 7 a a_1 + a_2 + a_3 = 2. Z týchto

Zasa sa to zaseklo pri "Ak má hráč z druhého domu 7 súperov, potom (a_2 - 1) + a_1 + a_3 = 7 a a_1 + a_2 + a_3 = 2. Z týchto"

Prepočítajme vzťahy, ktoré sme získali pre hráčov z prvých dvoch domov: Pre hráča z prvého domu: $(a_1-1)+a_2=12$ Pre hráča z druhého domu: $(a_2-1)+a_1+a_3=7$ Sčítaním oboch vzťahov dostaneme: $$(a_1-1)+a_1+a_2+a_3=19$$ $$2a_1+a_2+a_3=20$$ Pridaním tejto rovnice k rovnici $a_1+a_2+a_3=5$ získame: $$3a_1+2a_2+2a_3=25$$ Z rovnice $2a_1+a_2+a_3=20$ môžeme vyjadriť $a_3$: $$a_3=20-2a_1-a_2$$ Dosadením do predchádzajúcej rovnice máme: $$3a_1+2a_2+2(20-2a_1-a_2)=25$$ $$-a_1+3a_2=7$$ Teraz môžeme zostaviť sústavu troch rovníc: $$\begin{aligned} a_1+a_2+a_3&=5\ -a_1+3a_2&=7\ 2a_1+a_2+a_3&=20\end{aligned}$$ Riešením tejto sústavy je $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=0$, teda na Krátkej ulici býva 2+3+0+0+0=5 ľudí.

To odporuje podmienke, že v každom dome je aspoň jeden obyvateľ :(.

Máš pravdu, ospravedlňujem sa za chybu. Všimol som si, že som urobil chybu pri vyjadrení rovníc. V skutočnosti by to malo byť: a_1 + a_2 + a_3 = 2 a_2 + a_3 + a_4 = 2 a_3 + a_4 + a_5 = 2 a z toho vyplýva, že súčet počtu obyvateľov všetkých piatich domov musí byť rovný 11. Teraz môžeme pokračovať v riešení: Z prvej rovnice vyjadríme a_1 = 2 - a_2 - a_3 a dosadíme do druhej rovnice: (a_2 - 1) + a_1 + a_3 = 7 (a_2 - 1) + (2 - a_2 - a_3) + a_3 = 7 1 - a_2 + a_3 = 5 a_2 - a_3 = -4 Podobne môžeme postupovať aj s druhou a tretou rovnicou: a_3 - a_4 = -4 a_4 - a_5 = -4 Tieto rovnice môžeme ľahko vyriešiť pomocou napríklad substitučnej metódy, t.j. vyjadrením jednej z neznámych z prvej rovnice a dosadzovaním do ďalších rovníc. Výsledkom je: a_1 = 1 a_2 = 4 a_3 = 5 a_4 = 1 a_5 = 0 Takže na Krátkej ulici býva celkovo 11 ľudí. Celé zle, všetko sú to bludy

a_1=1 a a_2=4 nevyhovuje zadaniu, pretože hráč z prvého domu má iba 4 súperov. A tiež a_5=0.

Máš pravdu, ospravedlňujem sa za zavádzajúce informácie. Skúsim predstaviť nové riešenie. Nech $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ sú počty obyvateľov v jednotlivých domoch. Hráč v prvom dome má $(a_1 + a_2 - 1)$ súperov, hráč v druhom dome má $(a_1 + a_2 + a_3 - 2)$ súperov, hráč v treťom dome má $(a_2 + a_3 + a_4 - 2)$ súperov, hráč v štvrtom dome má $(a_3 + a_4 + a_5 - 2)$ súperov a hráč v piatom dome má $(a_4 + a_5 - 1)$ súperov. Podľa zadania má každý hráč 7 alebo 12 možných súperov. To znamená, že počet susedných domov musí byť buď 2 alebo 3. Keď zlúčime tieto poznatky s tým, že každý dom má aspoň jedného obyvateľa, dostaneme sústavu rovníc: \begin{align} a_1 + a_2 &\geq 2 \ a_1 + a_2 - 1 &\leq 7 \ a_1 + a_2 + a_3 - 2 &\geq 7 \ a_1 + a_2 + a_3 - 2 &\leq 12 \ a_2 + a_3 + a_4 - 2 &\geq 7 \ a_2 + a_3 + a_4 - 2 &\leq 12 \ a_3 + a_4 + a_5 - 2 &\geq 7 \ a_3 + a_4 + a_5 - 2 &\leq 12 \ a_4 + a_5 - 1 &\geq 2 \ a_4 + a_5 - 1 &\leq 7 \end{align} Teraz môžeme vyriešiť túto sústavu rovníc. Prvú rovnicu môžeme použiť na vylúčenie $a_1$ z ostatných rovníc: \begin{align} a_1 \geq 2 - a_2 \ a_1 \leq 7 - a_2 + 1 \ \end{align} Počet súperov hráča v prvom dome musí byť aspoň 7, takže $a_2$ musí byť aspoň 4. Z toho vyplýva, že $a_1$ musí byť najviac 3. Nasledujúcou rovnicou môžeme vylúčiť $a_5$: \begin{align} a_5 \geq 3 - a_4 \ a_5 \leq 7 - a_4 + 1 \ \end{align

Spýtam sa inak, ak by bolo a_1=3 koľko musí/môže byť a_2?

Ak by bolo a_1 = 3, potom hráč z prvého domu by mal ((3-1) + a_2) = a_2 + 2 súperov. Ak má každý hráč na ulici buď 7 alebo 12 súperov, potom by a_2 + 2 muselo byť buď 7 alebo 12. To znamená, že a_2 by muselo byť 5 alebo 10. Ak by bolo a_2 = 5, potom hráč z druhého domu by mal ((5-1) + 3 + a_3) = a_3 + 7 súperov. Ak má každý hráč buď 7 alebo 12 súperov, potom by a_3 + 7 muselo byť buď 7 alebo 12. To znamená, že a_3 by mohlo byť 0 alebo 5. Ak by bolo a_2 = 10, potom hráč z druhého domu by mal ((10-1) + 3 + a_3) = a_3 + 12 súperov. Ak má každý hráč buď 7 alebo 12 súperov, potom by a_3 + 12 muselo byť buď 7 alebo 12. To znamená, že a_3 by mohlo byť -5 alebo 0. Ale a_3 musí byť kladné, pretože v každom dome musí bývať aspoň jeden obyvateľ. Preto by sme museli zvoliť a_2 = 5 a a_3 = 5. To by znamenalo, že na Krátkej ulici býva 3 + 5 + 5 + 1 + 1 = 15 ľudí. Opäť som si myslel, že to vyrieši.

Koľko súperov má hráč z posledného domu, podľa Tvojho posledného výsledku?

Podľa posledného výsledku hráč z posledného domu má 7 súperov.

Koľko obyvateľov má posledný a predposledný dom? Z poslednej rovnice, ktorú sme získali v predošlom kroku, vieme, že $a_4 + a_5 = 6$. Zároveň vieme, že $a_5 \geq 1$, takže $a_4$ musí byť menšie alebo rovné 5. Keďže každý dom má aspoň jedného obyvateľa, platí $a_4 \geq 1$. Kombináciou týchto dvoch podmienok zistíme, že $1 \leq a_4 \leq 5$. Z rovnice $a_4 + a_5 = 6$ potom získame možné hodnoty pre $a_5$ pre každú hodnotu $a_4$: ak $a_4 = 1$, potom $a_5 = 5$ ak $a_4 = 2$, potom $a_5 = 4$ ak $a_4 = 3$, potom $a_5 = 3$ ak $a_4 = 4$, potom $a_5 = 2$ ak $a_4 = 5$, potom $a_5 = 1$ Teda posledný dom má buď 1 alebo 2 obyvateľov a predposledný dom má buď 3 alebo 4 obyvateľov.

Ak by mal posledný dom 1 obyvateľa, musel by mať predposledný dom 7 obyvateľov. Presne tak. Ak by mal posledný dom iba 1 obyvateľa, tak by mal 12 súperov, pričom 7 z nich by museli byť obyvatelia predposledného domu. Potom by predposledný dom mal celkom 7 obyvateľov, ktorí by mali medzi sebou a s obyvateľom posledného domu len jeden spoločný susedný dom. Toto riešenie spĺňa všetky podmienky úlohy.

S akými domami susedí posledný dom?

Posledný dom susedí iba so štvrtým domom, pretože predposledný dom už susedí s piatym domom.

Super, ak je v poslednom dome iba jeden obyvateľ, tak môže mať súperov iba z predposledného domu. Je to symetrické ako pri 1. a 2. dome

Presne tak. Keďže posledný dom má iba jedného obyvateľa, tak tento obyvateľ má za súperov všetkých obyvateľov predposledného domu. A tým pádom všetci obyvatelia posledného domu majú rovnaký počet súperov. To je symetrické s prípadom, keď v prvom dome býva iba jeden obyvateľ a ten má za súperov iba obyvateľov druhého domu.

Dobre a keď je a_5=1 a koľko môže byť a_4?

Ak má posledný dom iba 1 obyvateľa, tak môže mať súperov iba z predposledného domu. Takže hráč z predposledného domu musí mať 1+7=8 súperov. Ak by mal predposledný dom 1 obyvateľa, tak by mal iba 1+3=4 súperov, čo nie je možné. Preto musí mať predposledný dom aspoň 2 obyvateľov. Ak by mal 2 obyvateľov, tak by hráč z predposledného domu mal 2+3+1=6 súperov, čo opäť nevyhovuje. Takže musí mať predposledný dom aspoň 3 obyvateľov. Potom hráč z predposledného domu má 3+1+1=5 súperov a hráč z posledného domu má 7 súperov (z predposledného domu).

Prečítaj si svoje dve posledné vety: Tvrdíš v nich, že v predposlednom dome sú 3 obyvatelia a že hráč z posledného domu má 7 súperov z predposledného domu. To je spor.

Máš pravdu, je to môj omyl. Ak v poslednom dome býva iba jeden obyvateľ, tak má súperov iba z predposledného domu a tým pádom predposledný dom môže mať až 4 obyvateľov, aby každý mal aspoň 7 súperov.

Tu som to vzdal, riešenie nájdete ockin.science